PASSOS SIMPLES PARA TRANSFORMAR UMA DÍZIMA PERIÓDICA EM FRAÇÃO

Alguns passos simples para transformar uma dízima periódica em fração são descritos nesse artigo em detalhes. Primeiramente, os conceitos de dízimas periódicas são apresentados e, na sequência, os passos simples para transformar uma dízima periódica em fração são detalhadamente trabalhados, pois essas dicas podem ser úteis em questões de provas de concursos. E para determinar a fração de uma dízima periódica podemos utilizar dois métodos, como descritos mais adiante.

Passos simples para transformar uma dízima periódica em fração

1. Alguns Conceitos Úteis

Números decimais com repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos recebem o nome de números decimais periódicos ou dízimas periódicas.  Numa dízima periódica, o algarismo ou os algarismos que se repetem infinitamente constituem o período da dízima. Sendo assim, uma dízima periódica pode ser simples ou composta. Logo, para denotar uma dízima periódica pode-se colocar uma barra sobre o período, isto é, a dízima 0,3333\cdots pode ser denotada por 0,\bar{3}. Analogamente, a dízima 0,232323\cdots pode ser representada por 0,\bar{23}, ou seja, a barra é colocada sobre os dois dígitos do período.

1.1 Dízima Periódica Simples

Uma dízima periódica é simples quando o período inicia imediatamente após a vírgula. Observe os exemplos a seguir:

{\color{Blue} 0,4444\cdots } possui período igual a 4.

{\color{Blue} 0,232323\cdots } possui período igual a 23.

1.2 Dízima Periódica Composta

Uma dízima periódica é composta quando entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica, isto é, o período não começa imediatamente após a vírgula. Observe os exemplos a seguir:

{\color{Blue} 0,1444\cdots} possui período igual a 4 e, além disso, uma parte não periódica localizada após a vírgula igual a 1.

{\color{Blue} 0,32555\cdots} possui período igual a 5 e, também, uma parte não periódica localizada após a vírgula igual a 32.

{\color{Blue} 0,63121212\cdots } possui período igual a 12 e, além disso, uma parte não periódica localizada após a vírgula igual a 63.

2. Geratriz de uma Dízima Periódica

A fração de uma dízima periódica é denominada geratriz da dízima periódica. Existem regras para determinar a fração que gerou a dízima, no entanto, o ruim dessas regras é memorizá-las. Por isso, primeiramente, utilizaremos um método diferente para determinar a fração da dízima periódica.

2.1 Passos Simples Para Transformar Uma Dízima Periódica em Fração

Esse primeiro método consiste em colocar uma letra igual a dízima que se quer determinar a fração e na sequência deve-se obter outra expressão multiplicando ambos os membros da igualdade por uma potência de 10 (ou 10, ou 100, ou 1000, …). O valor escolhido para multiplicar ambos os membros de uma ou das duas expressões deve ser tal que após a vírgula das duas expressões fique somente o período. Para finalizar, subtraia a maior expressão da menor e, finalmente, isole a letra escolhida.

Exemplo 1. Determine a fração geratriz da dízima 0,4444\cdots.

Solução

Seja x=0,4444\cdots. Agora multiplique ambos os membros de x=0,4444\cdots por 10. Isto nos dá 10x=4,4444\cdots. Finalmente, é só subtrair x=0,4444\cdots de 10x=4,4444\cdots e isolar o valor de x. Logo, a solução é dada por:

\begin{matrix} 10x=4,4444\cdots \, \, \ \\ \underline{\, \, \, \, \, \, x=0,4444\cdots\, \, \, \, } \\\, \,\, \, 9x=4\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \end{matrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 9x=4\, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, x=\frac{4}{\, \, 9\, \, }

Portanto, a fração geratriz da dízima 0,4444\cdots é igual a 4/9.

Exemplo 2. Determine a fração geratriz da dízima 0,232323\cdots.

Solução

Seja x=0,232323\cdots. Agora multiplique ambos os membros de x=0,232323\cdots por 100. Isto nos dá 100x=23,232323\cdots. Finalmente, é só subtrair x=0,232323\cdots de 100x=23,232323\cdots e isolar o valor de x. Consequentemente, tem-se a solução:

\begin{matrix} 100x=23,232323\cdots \, \, \ \\ \underline{\, \, \, \, \, \, \, \, x=\, \, \, 0,232323\cdots\, \, \, \, } \\\, \,\, \, 99x=23\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \end{matrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 99x=23\, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, x=\frac{23}{\, \, 99\, \, }

Portanto, a fração geratriz da dízima 0,232323\cdots é igual a 23/99.

Exemplo 3. Determine a fração geratriz da dízima 0,1444\cdots.

Solução

Seja x=0,1444\cdots. Agora multiplique ambos os membros de x=0,1444\cdots por 10 e por 100, pois o período da fração original não inicia imediatamente após a vírgula. Isto nos dá 10x=1,4444\cdots e 100x=14,4444\cdots. Agora, para determinar a fração da dízima periódica, é só subtrair 10x=1,4444\cdots de 100x=14,4444\cdots e isolar o valor de x. Finalmente, tem-se a solução a seguir:

\begin{matrix} 100x=14,4444\cdots \, \, \ \\ \underline{\, \, \, \, \, \, \, \, 10x=\, \, \, 1,4444\cdots\, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, 90x=13\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \end{matrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 90x=13\, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, x=\frac{13}{\, \, 90\, \, }

Portanto, a fração geratriz da dízima 0,1444\cdots é igual a 13/90.

Exemplo 4. Determine a fração da dízima periódica 0,325555\cdots.

Solução

Seja x=0,325555\cdots. Assim, multiplicando ambos os membros de x=0,325555\cdots por 100 e por 1000, obtemos as expressões 100x=32,5555\cdots1000x=325,5555\cdots. Então, subtraindo 100x=32,5555\cdots de 1000x=325,5555\cdots e isolando o valor de x, obtém-se, consequentemente, a fração da dízima periódica. Observe a solução a seguir:

\begin{matrix} 1000x=325,5555\cdots \, \, \ \\ \underline{\, \, \, \, \, \, \, \, 100x=\, \, \, 32,5555\cdots\, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, 900x=293\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \end{matrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 900x=293\, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, x=\frac{293}{\, \, 900\, \, }

Portanto, a fração geratriz da dízima 0,325555\cdots é igual a 293/900.

Exemplo 5. Determine a fração geratriz da dízima 0,631212\cdots.

Solução

Seja x=0,631212\cdots. Assim, multiplicando ambos os membros de x=0,631212\cdots por 100 e por 10000, obtemos as expressões: 100x=63,1212\cdots e 10000x=6312,1212\cdots. Logo, subtraindo a maior expressão da menor, tem-se, consequentemente:

 \begin{matrix} 10000x=6312,1212\cdots \, \, \ \\ \underline{\, \, \, \, \, \, \, \, \: 100x=\, \, \, \, \, \, 63,1212\cdots\, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\\, 9900x=6249\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \end{matrix} \, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 9900x=6249\, \, \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \, \, x=\frac{6249}{\, \, 9900\, \, }

Dividindo o numerador e o denominador da fração por 3, obtém-se 2083/3300. Portanto, a fração geratriz da dízima 0,631212\cdots é igual a 2083/3300.

3. Método Direto Para Obter a Fração de Uma Dízima Periódica

A regra para para obter a fração de uma dízima periódica é como descrita a seguir:

Primeiro de tudo, o numerador da fração é igual a toda a parte não periódica seguida do período menos a parte não periódica.

Enquanto o denominador é composto por tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica localizada após a vírgula.

Certamente, se uma dízima periódica possui dois dígitos no período e três dígitos para a parte não periódica, seriam dois noves seguidos de três zeros. Portanto, divide-se por 99000.

Exemplo 6. Determine a fração geratriz da dízima 0,17222\cdots.

Solução

O numerador é composto pela parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, ou seja, o numerador é dado por:

172-17=155

Além disso, o denominador é formado por um nove seguidos de dois zeros. Portanto, a fração geratriz da dízima 0,17222\cdots é igual a 155/900.

Exemplo 7. Determine a fração geratriz da dízima 3,4555\cdots.

Solução

O numerador é composto pela parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, ou seja, o numerador é dado por:

345-34=311

Além disso, o denominador é formado por um nove (correspondente a quantidade de algarismos do período), seguido de um zero (correspondente a quantidade de algarismos da parte não periódica após a vírgula). Portanto, a fração geratriz da dízima 3,4555\cdots é igual a 311/90.

Exemplo 8. Determine a fração geratriz da dízima 2,71333\cdots.

Solução

O numerador é composto pela parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, ou seja, o numerador é dado por:

2713-271=2442

Além disso, o denominador é formado por um nove (correspondente a quantidade de algarismos do período), seguidos de dois zeros (correspondente a quantidade de algarismos da parte não periódica após a vírgula). Portanto, a fração geratriz da dízima 2,71333\cdots é igual a 2442/900. Dividindo o numerador e o denominador da fração por 3, tem-se a fração 814/300.

4. Vídeo: Passos Simples Para Obter a Fração de Uma Dízima Periódica